Родился 7 ноября 1919 года в селе Оброчное ныне Атюрьевского района Республики Мордовия в крестьянской семье. Русский. Окончил среднюю школу, работал учителем в селе Кишалы Атюрьевского района. Был призван в армию в 1939 году. В 1941 году окончил Бобруйское военное автотракторное училище, в 1942 году – курсы усовершенствования командного состава (КУКС).
Во время Великой Отечественной войны в действующей армии – с июня 1942 года. Воевал на Юго-Западном, Калининском, Степном (с 20 октября – 2-м Украинском) фронтах. Дважды ранен.
В боях за сильно укрепленный пункт – поселок Староселье (Нелидовский район ныне Тверской области) 27 ноября 1942 года, когда роты пошли в атаку, он под сильным артиллерийским и минометным огнем поднимал отстающую пехоту, побуждая ее двигаться вперед. Когда 30 ноября 1942 года был ранен командир роты, принял командование и повел роту на штурм укрепленного пункта – деревню Богородицкое (Оленинский район). При этом уничтожил своим танком 4 противотанковых орудия, 1 самоходную пушку и до 20 гитлеровцев. 1 декабря 1942 года при штурме укрепленного пункта – церкви деревни Травино (Оленинский район) был ранен в руку. Награжден орденом Красной Звезды.
Особо отличился во время Пятихатской наступательной операции по освобождению правобережной Украины.В ходе операции захватил своей танковой ротой станцию Зеленое (Пятихатский район Днепропетровской области), в боях за деревню Зеленый Луг того же района уничтожил 2 тяжёлых танка «Тигр», 2 самоходных орудия и 2 бронетранспортера. 24 – 25 октября 1943 года во время уличных боев в городе Кривой Рог Днепропетровской области лично подбил 2 тяжёлых танка «Тигр», 1 самоходное орудие и уничтожил около 30 солдат и офицеров противника. Был ранен, но остался в строю.Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 марта 1944 года за мужество и героизм, проявленные в боях по освобождению правобережной Украины, Махрову Алексею Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».В составе 181-й танковой бригады, которая вместе с 18-м танковым корпусом вошла в подчинение 6-й (с 12 сентября 1944 года – гвардейской) танковой армии, А.Г. Махров участвовал в Ясско-Кишинёвской стратегической наступательной операции (20 – 29 августа 1944 года) и Бухарестско-Арадской наступательной операции (30 августа – 3 октября 1944 года).Командир взвода по ремонту боевых машин роты технического обеспечения 181-й танковой бригады старший лейтенант А.Г.Махров организовал работу взвода по восстановлению танков в боевых условиях. С 20 августа по 10 сентября 1944 года отремонтировал 40 танков, из них 22 – средним ремонтом.В районе города Хуши (Румыния) личный состав его взвода занимался ремонтом танков. В это время окруженные немецкие войска перешли в контратаку и стали двигаться по склону горы, пересекая шоссейную дорогу. Г.А. Махров быстро организовал оборону, сам сел в ремонтируемый им танк и открыл огонь по противнику. Лично уничтожил 20 немецких солдат и 2 офицеров. Немцы, не выдержав огня, стали сдаваться в плен. Г.А. Махров был награжден вторым орденом Красной Звезды. После окончания войны Г.А. Махров продолжал службу в армии. С 1965 года подполковник Г.А. Махров – в запасе. Жил в Риге, работал инженером на заводе. Награжден орденом Ленина (10.03.1944), орденами Красной Звезды (10.12.1942; 30.09.1944;), медалями.Умер 16 января 1979 года. Похоронен на кладбище Райниса в Риге. | 
