Родился 19 октября 1918 года в селе Булаево ныне Темниковского района РМ в семье крестьянина. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1949 года. Окончив 7 классов, работал на доломитовом комбинате в Донецкой области.
В Рабоче-крестьянской Красной Армии с 1938 года. С февраля 1943 года - участник боев на фронтах Великой Отечественной войны. Окончил курсы младших лейтенантов. В составе 31-й стрелковой бригады 3-й ударной армии Калининского фронта и 1-й стрелковой дивизии 6-й гвардейской армии 2-го Прибалтийского фронта участвовал в боях по уничтожению невельской группировки противника, затем дивизия в составе 10 гвардейской армии воевал с врагом на новосокольническом направлении. В марте 1944 года 1-я сд уже в составе 70-й армии 2-го Белорусского фронта был переброшен в район Ковеля и участвовал в Полесской наступательной операции.
С апреля 1944 года 70-я армия вошла в состав 1-го Белорусского фронта и вела бои в районе Бреста. П.А. Ванцин участвовал в форсировании реки Западный Буг, в августе-октябре 1944 года - в боях севернее Варшавы и на реке Нарев в районе города Сероцк (Польша). С ноября 1944 года Ванцин вновь в составе 2-го Белорусского фронта. Участвовал в Восточно-Прусской (форсировал Вислу в районе северо-восточнее города Бромберг (ныне - Быдгощ, Польша), участвовал в уничтожении торнской группировки противника), Восточно-Померанской (уничтожение данцигско-гдынской группировки противника) и Берлинской стратегической (бои по уничтожению штеттинской группировки противника) операциях.
Командир роты 415-го стрелкового полка 1-й стрелковой дивизии 70-й армии 2-го Белорусского фронта лейтенант Ванцин особо отличился в ходе Восточно-Прусской операции.
27 января 1945 года рота под командованием лейтенанта Ванцина под прикрытием артиллерийского и миномётного огня с марша успешно, без потерь, форсировала реку Висла в районе посёлка Гручно (11 километров северо-западнее города Свеце, Польша). Петр Ванцин первым ворвался в посёлок и лично уничтожил шесть гитлеровцев. Противник был выбит, что позволило переправить остальные подразделения дивизии.
31 января рота достигла окраины крупного населённого пункта и железнодорожной станции Буковец (10 километров западнее Гручно) и закрепилась на захваченных рубежах. Противник предпринял семь контратак пехоты при поддержке танков. Когда гитлеровцы начали откатываться после очередной неудачной атаки, Ванцин поднял своих бойцов в наступление, на плечах фашистов ворвался на станцию и захватил её. Лейтенант с группой бойцов захватил командный пункт гитлеровцев, где застрелил двух офицеров, а одного взял в плен.
Только за пятнадцать дней наступления рота лейтенанта Ванцина уничтожила до ста вражеских солдат и офицеров, семнадцать - взяла в плен, отбила девятнадцать контратак противника. В рукопашном бою лично командир роты уничтожил до пятнадцати немецких солдат, четыре раза был ранен, но не ушёл с поля боя.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, лейтенанту Ванцину Петру Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 8829).
После войны продолжал службу в армии. В 1948 году окончил Курсы усовершенствования офицерского состава. Служил в Херсонском городском военном комиссариате, а в 1961 году по болезни уволился в запас. Жил в городе Каховка Херсонской области, работал начальником отдела кадров в дорожно-строительном управлении.
Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.
Умер 14 ноября 1972 года. Похоронен в Каховке. Улицы в городах Темников и Каховка носят его имя. | 
