Родился 30 марта 1915 года в селе Турдаково ныне Дубенского района Республики Мордовия в крестьянской семье. По-национальности мордвин-эрзя. В 1932 году окончил 7 классов в селе Кабаево Дубенского района. Работал слесарем завода «Химмаш» в городе Дзержинск Горьковской в настоящее время Нижегородской области. В октябре 1937 года был призван в армию Дзержинским райвоенкоматом. Окончил полковую школу и курсы младших лейтенантов.
Во время Великой Отечественной войны в действующей армии – с 27 июня 1941 года. Воевал на Северном, Карельском, Западном и 3-м Белорусском фронтах.
В боях 6 раз был ранен. Ему не раз говорили, что в рубашке родился... Но седьмое ранение оказалось смертельным.
На Карельском фронте младший лейтенант Н.М.Бровцев, командир стрелкового взвода 1046-го стрелкового полка 289-й стрелковой дивизии, сражался в составе Медвежьегорской, затем Масельской оперативной группы войск, позднее – в 32-й армии. Участвовал в оборонительных боях и частных наступательных операциях против финских войск. За отличие в боях 19-21 ноября 1941 года в районе станции Масельская был награждён орденом Красного Знамени.
На Западном фронте весной, летом и осенью 1943 года в составе 10-й гвардейской армии Н.М.Бровцев, к октябрю 1943 года ставший гвардии капитаном, заместителем командира батальона 249-го гвардейского полка 85-й гвардейской стрелковой дивизии, участвовал в оборонительных боях, в наступательных действиях на смоленском направлении. За отличия в боевых действиях был награждён орденами Отечественной войны 2-й степени и Красной Звезды. Особо отличился в Восточно-Прусской стратегической наступательной операции, сражаясь на 3-м Белорусском фронте в составе 2-й гвардейской армии в качестве командира стрелкового батальона 923-го стрелкового полка 251-й стрелковой дивизии. Его батальон участвовал во взятии многих городов и населённых пунктов Восточной Пруссии – Бартен, Бартенштайн, Прейсиш-Айлау и других. 15 апреля 1945 года в районе юго-восточнее населённого пункта Пальмникен (ныне – посёлок городского типа Янтарный Светлогорского горсовета Калининградской области) крупные силы пехоты и танков противника контратаковали подразделения полка в лесном массиве Флангервальд и пытались выйти в тыл наших частей. Батальон в этом бою понёс большие потери. Капитан Н.М.Бровцев возглавил командование небольшой группой стрелков, закрепился на высоте и организовал упорное сопротивление врагу. Вёл по наступающей пехоте огонь из ручного пулемёта; когда кончились патроны в диске пулемёта, отбивался автоматным огнём и гранатами. В этом бою, получив смертельное ранение, Бровцев Н.М. геройски погиб. Боевые товарищи похоронили Бровцева в братской могиле в селе Русское Зеленоградского района Калининградской области.Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года за умелое руководство батальоном, мужество и героизм, проявленные в Восточно-Прусской операции, капитану Бровцеву Николаю Михайловичу - командиру стрелкового батальона 923-го стрелкового ордена Александра Невского полка (251-я стрелковая Витебская Краснознамённая ордена Суворова дивизия, 2-я гвардейская армия, 3-й Белорусский фронт) присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно). Имя Н.М.Бровцева было присвоено рыболовному траулеру. На родине героя помнят и чтят. В селе Дубенки Дубенского района именем Героя названа улица. Награждён орденами Ленина (29.06.1945), Красного Знамени (23.07.1942), Суворова 3-й степени (5.03.1945), Отечественной войны 2-й степени (12.10.1943), Красной Звезды (17.06.1943) и медалями. | 
