Родился 14 ноября 1919 года в селе Николаевка (ныне — Старошайговский район Мордовии) в крестьянской семье. В 1925 году вместе с семьёй переехал в Северный район Новосибирской области. Окончил семь классов школы, поступил в педагогическое училище в городе Куйбышев Новосибирской области, окончил его в 1938 году, после чего работал учителем в начальной школе села Ново-Елизарово Северного района.
В октябре 1939 года был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию Северным районным военным комиссариатом. После окончания полковой школы получил звание сержанта, служил в стрелковом полку в Туркестанском военном округе, был командиром отделения, затем командиром взвода разведки.
В начале Великой Отечественной войны в составе своей части участвовал в наступательной операции на территории Ирана. С августа 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в боях на Закавказском, Северо-Кавказском, Степном и 2-м Украинском фронтах. В 1943 году вступил в ВКП(б). К сентябрю 1943 года гвардии старший сержант Анатолий Борискин командовал взводом 106-й гвардейской отдельной разведроты 110-й гвардейской стрелковой дивизии 37-й армии Степного фронта. 29 сентября 1943 года, несмотря на огонь противника, Борискин совместно с группой бойцов форсировал Днепр в районе села Куцеволовка Онуфриевского района Кировоградской области Украинской ССР. Проведя разведку вражеской обороны, Борискин уничтожил расчёт миномёта противника. При возвращении из разведки он уничтожил гранатой штабную машину противника, уничтожив при этом 3 немецких офицеров и добыв ценные документы. В ночь с 8 на 9 октября 1943 года Борискин взял в плен 2 немецких связистов с радиостанцией. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года гвардии старший сержант Анатолий Борискин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 2528. «За героический подвиг, проявленный при выполнении боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками при форсировании реки Днепр, присвоить звание Героя Советского Союза... Борискину Анатолию Васильевичу». Это строки из Указа Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года. Демобилизован 11 января 1945 года. В январе 1945 года в звании капитана Борискин был уволен в запас. Проживал в городе Куйбышев Новосибирской области. Об Анатолии Васильевиче Борискине в книги «Звезды доблести ратной», посвященной героям-новосибирцам: «Старший сержант Борискин командовал взводом отдельной разведывательной роты 110-й гвардейской стрелковой дивизии. Сибиряк не раз удивлял товарищей своим бесстрашием, инициативой и сметкой. Однажды, когда дивизия вышла к Днепру, Борискин и еще двое разведчиков, действуя в тылу у противника, напали на штабной автобус. Забросав машину гранатами, они уничтожили трех немецких офицеров и захватили портфель с важными документами...» Далее в книге рассказывается о том, как 29 сентября 1943 года разведвзвод Борискина при форсировании Днепра не только обеспечил командование точными данными об огневых позициях врага, но и участвовал в штурме высоты 177,0. Старший сержант Борискин, увидев, что в ходе атаки все офицеры выбыли из строя, принял на себя командование ротой, а затем и батальоном. Высота была взята, к тому же Борискин лично уничтожил вражеский пулемет и захватил в плен двух немецких связистов с их рацией. Но как бы ни были интересны авторитетные книжные строки, а живое общение с героем, его рассказы о фронтовых буднях намного интереснее, увлекательнее. И многим куйбышевцам повезло, так как в течение всех 55 лет своей послевоенной жизни Анатолий Васильевич постоянно встречался со школьниками, студенческой молодежью города и района. Борискин А.В. работал в отделе кадров Куйбышевского райобъединения «Сельхозтехника», затем председателем горкома «Общества спасения на водах». Скончался 18 апреля 2000 года. Похоронен в г. Куйбышев Новосибирской области. Был также награждён двумя орденами Красного Знамени и двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, а также рядом медалей.
