 Родился 8 августа 1921 года в селе Камакужа ныне Инсарского района Республики Мордовия в семье крестьянина. Русский. Окончив спецшколу, работал метеорологом в Магнитогорске.В РККА с 1940 года. В 1942 окончил Чкаловскую военную авиационную школу пилотов. На фронтах Великой Отечественной войны с мая 1942 года. Настоящее боевое крещение Иван Фролович получил 11 июля 1942 года на Юго-Западном фронте. Группа из шести «ИЛ-2» получила задание: атаковать мотомеханизированную колонну противника, мешающую продвижению наших наземных войск в районе Волчанска. И выполнила его отлично. Внезапным смелым налетом вражеская колонна была разбита. На поле осталось до 20 горящих автомашин, пять танков и большое количество трупов фашистов. В этот же день полк сделал четыре вылета, потребовавших от личного состава большого напряжения сил и энергии. Люди от изнеможения буквально падали с ног, но была получена новая задача: произвести на самолете «Ил-2» разведку дороги на 70 километров в тыл врага. Задание нужно было выполнить срочно. Одним из первых добровольно изъявил желание лететь сержант Бибишев. И это задание, несмотря на усталость, на бешеное сопротивление врага в воздухе, он выполнил. Бибишев доставил командованию ценные данные, позволившие разгадать замысел противника. Летая днем и ночью, не щадя ни сил, ни здоровья, с риском для жизни выполняет Бибишев сложные боевые задания и всегда наносит врагу ощутимый урон. У него выработался свой стиль, свой почерк в боевой работе. Там, где проносился самолет Ивана Бибишева, огненный ураган сметал врага. Мастерски владел Бибишев самолетом «Ил-2». Его узнавали даже в воздухе - «Вот идет наш Бибишенок», – говорили о нем, вкладывая в это слово гордость и безграничное уважение к этому молодому, вечно улыбающемуся пилоту, отважному бойцу. В сентябре 1942 года в жизни Ивана произошли большие события. Ему присвоили звание лейтенанта и наградили орденом Красного Знамени. С 10 января 1943 года Бибишев громит окруженную фашистскую группировку под Сталинградом. За четыре коротких зимних дня при сильном морозе он сделал 11 успешных боевых вылетов. В результате им уничтожено и повреждено до 20 автомашин с войсками и грузами, до 100 солдат и офицеров противника, один транспортный самолет. За образцовую боевую работу и проявленные при этом доблесть и геройство Бибишев награждается орденом Отечественной войны I степени.
18 января 1943 года Иван Бибишев с группой товарищей получил задание: нанести удар по группе войск противника, залегшей в балке под Сталинградом и оказывавшей сопротивление нашим наступающим частям. И эта задача выполнена. Наша пехота без задержки ринулась вперед. Возвращаясь на свой аэродром, Бибишев увидел, как на другом участке, на снегу, залегла наша пехота, остановились танки. Они не могли преодолеть огневое сопротивление противника. Враг на небольшом участке сосредоточил много пулеметов, артиллерии. Бибишев видел, что этот участок прикрыт плотным заградительным огнем. Остальные наши самолеты уже ушли далеко вперед, их силуэты едва были заметны на горизонте. Зная это, Бибишев все же принял решение – идти на штурм артиллерии противника, стоящей на огневых позициях. Пять раз Ваня Бибишев бросался в атаку, пять раз поливал врага огнем, пять раз самолет «Ил-2» взмывал ввысь, чтобы снова обрушить шквал огня на голову фашистов. Против дерзкого и отважного летчика противник сосредоточил всю свою огневую силу. Небольшой участок голубого волжского неба покрылся сплошными клубами дыма от разрывов снарядов. Бесконечные светящиеся ленты пулеметных трасс врага протянули свои щупальца к самолету. Несколько снарядов подряд впились в корпус самолета, раздирая его на части. Летчик погиб. Разбитая машина рухнула вниз на головы, обезумевшего от страха и бессильной злобы врага. Фашисты бежали от падающих обломков грозного «ИЛ». Наши танки и пехота беспрепятственно заняли этот укрепленный узел противника. То был последний бой, последний подвиг молодого летчика Ивана Фроловича Бибишева.
Подвиг, за который 24 августа 1943 года ему было присвоено звание Героя Советского Союза посмертно. Лейтенант Иван Бибишев совершил 141 боевой вылет, уничтожил 20 танков, около 50 автомашин, десятки орудий и несколько самолётов на аэродромах противника. Награжден орденами Ленина, Красного Знамени, Отечественной войны I степени. Его имя носят улица в городе Инсар, улица и школа № 8 в Магнитогорске; в этом городе на доме, где жил Герой, установлена мемориальная доска. Имя Ивана Фроловича Бибишева выбито на стеле, на Аллее Героев в Волгограде. 
| 
